Poliedros - Arquitetura, aspectos históricos e softwares

Desde os tempos mais remotos, o ser humano tem apresentado certo fascínio pelas obras arquitetônicas. Em uma busca incessante pela beleza e perfeição das construções, verdadeiras obras de arte foram edificadas no decorrer da história.

O Obelisco do Ibirapuera, localizado em São Paulo, é um monumento com 72m de altura, que homenageia os heróis da Revolução Constitucionalista de 1932.

Museu de Arte de São Paulo (MASP)

 

Castelo de Santa Maria da Feira, localizado em Portugal, construído entre 1028 e 1037.

Na cidade de Edmonton, no Canadá, encontra-se o conservatório Muttart

Das pirâmides egípcias, passando pelos monumentos da Idade Média, até chegar às moderníssimas construções de nosso tempo, a forma sempre obteve atenção especial dos arquitetos. Muitas dessas construções, tem a forma de poliedros.

Um pouco de história...

Os primeiros povos a se dedicarem à matemática por si próprios foram os gregos, que, entre outros assuntos, estudaram várias formas geométricas. Algumas dessas formas, como também suas propriedades, foram tratadas inicialmente por eles, sendo esse o motivo pelo qual essas formas receberam nomes que derivam da língua grega.

Um dos matemáticos que bastante contribuiu para o estudo dos poliedros foi Johannes Kepler (1571-1630). Em sua obra Mysterium cosmographicum, de 1596, para descrever o sistema solar, Kepler idealizou que as órbitas planetárias estariam contdas em esferas separadas por poliedros. No site www.uff.br/cdme/kepler/kepler-html/kepler-br.htmlpode-se interagir com o modelo de Kepler.

Poliedros de Platão

Platão (427 a.C. – 347 a.C.) foi um filósofo grego, discípulo de Sócrates, nascido em Atenas. Em 387 a.C., após a morte de seu mestre, fundou em sua cidade natal uma escola que ficou conhecida como “Academia”.Na fachada dessa escola, podia-se ler: “Que ninguém que ignore a Geometria entre aqui”. Nessa frase, podemos observar que, apesar de Platão não ter dado contribuição significativa aos resultados matemáticos técnicos da época, ele tinha uma grande admiração pela Geometria.

Comumente é dito que Platão passou a ter uma visão matemática por influência de um amigo, Arquitas. Acredita-se também que foi a partir daí que ele soube da existência de cinco poliedros: o tetraedro, o cubo, o octaedro, o icosaedro e o dodecaedro. Nessa época, esses poliedros eram associados aos quatro elementos considerados primordiais: o ar, associado ao octaedro; terra, associada ao cubo; fogo, associado ao tetraedro; e água, associada ao icosaedro. O quinto e último poliedro foi o dodecaedro, que Platão considerou o símbolo do universo.

Software Poly

            O software Poly é uma interessante ferramenta para visualização de poliedros matemáticos. Nele você pode visualizar os poliedros de Platão, os sólidos de Arquimedes, prismas, anti-prismas, e muitos mais. Você pode observar a planificação dos sólidos e ainda movimentar o sólido em processo de montagem.

 Para baixar em seu computador clique aqui.

Medindo o Mundo - Projeto sobre Grandezas e Medidas

Tema:

·         Grandezas e Medidas

Participantes do projeto:

·         Turmas da 8ª série (9º ano) dos turnos da manhã e tarde – 81 e 82.

 Justificativa:

            Este projeto é proposto aos alunos que cursam a 8ª série (9º ano) porque convêm recordar um tema que é útil no dia-a-dia e importante para os cursos de Química, Física, Biologia e Matemática do Ensino Médio. Além disso, algumas novas ideias que serão abordadas exigem a maturidade dos alunos desta série para ser bem compreendidas.

Competências a serem desenvolvidas

·           Estimular a comunicação e expressão dos alunos durante as atividades;

·           Promover atividades em grupo, possibilitando a interação e a troca de conhecimentos;

·           Sensibilizar os estudantes para o papel da ciência Matemática na evolução da sociedade.

 Objetivos do projeto:

·           Ampliar e construir noções de medida, pelo estudo de diferentes grandezas, a partir de sua utilização no contexto social e da análise de alguns dos problemas históricos que motivaram sua construção;

·           Conceituação de instrumento de medida e unidade de medida;

·           Compreensão da noção de medida de comprimento, superfície, volume, capacidade, massa e tempo.

·           Conceituação do sistema decimal de medidas de comprimento, superfícies, volumes, capacidade e massa.

·           Conceituação de sistema não-decimal de medidas de tempo.

·           Estabelecimento de conversões entre algumas unidades de medida mais usuais (para comprimento, superfície, volume, massa, capacidade e tempo) em resolução de situações-problema.

Metodologia:

            Os alunos das turmas 81 e 82 apresentarão em seus turnos trabalhos referentes ao tema do projeto. Os trabalhos serão apresentados no dia 18 de maio do corrente ano.

            Os trabalhos deverão ser apresentados na modalidade exposição, e serão apresentados para as demais turmas de séries finais do ensino fundamental da escola.

            Cada turma será dividida em seis grupos, sendo que cada um receberá uma grandeza para realizar a pesquisa e exposição dos resultados. As grandezas a serem pesquisadas pelos grupos serão: comprimento, superfície, volume, massa, capacidade e tempo.

            Os grupos irão realizar pesquisas utilizando os mais diversos meios de obtenção de informação (livros, revistas científicas, internet, etc).

            A pesquisa que os alunos realizarão, deverá seguir alguns princípios norteadores, que devem estar contidos no trabalho a ser apresentado e exposto. Os seguintes aspectos devem estar presentes na apresentação:

·         Quais as principais unidades de medida da grandeza;

·         As unidades de medidas utilizadas em outros países;

·         As transformações entre as unidades de medida da grandeza;

·         Aparelhos e instrumentos de medição da grandeza;

·         Aplicações no cotidiano: embalagens de produtos, mapas, calendários, indústria, comércio, entre outros.

Os trabalhos expostos poderão utilizar os mais diversos materiais que possam demonstrar, exemplificar e ilustrar o tema da pesquisa.

Avaliação:

Os alunos serão avaliados no processo de pesquisa e obtenção das informações, pela relevância com que os resultados possam ter com o tema.

Os trabalhos também serão avaliados pela riqueza da exposição, entendimento e apropriação dos assuntos abordados.

Nota no site da prefeitura municipal de Tramandaí sobre a exposição

"Alunos da escola Dêntice realizaram trabalho sobre medidas e grandezas"

" Muito se fala nos problemas e dificuldades enfrentadas em sala de aula, novos espaços são criados, projetos externos elaborados, mas a sala de aula é onde se processa todo o conhecimento. Propostas boas e resultados positivos são vivenciados diariamente, como pode se confirmar no trabalho realizado com as 8ª séries da E.M.E.F.Gal. Luiz Dêntice, orientados pelo professor Andrios Benfica, de Matemática, abordando a temática Medidas e Grandezas. Os alunos buscaram referências concretas do assunto, trabalhando em grupos e socializando com os colegas o conhecimento adquirido. A direção da escola parabeniza aos profissionais em educação que acreditam e buscam práticas diferenciadas para a sala de aula, tornando este espaço um local inspirador para as novas gerações. "

Disponível em: http://www.tramandai.rs.gov.br/index.php?acao=noticias&noticias_id=6620

Vídeo com os registros fotográficos da exposição Medindo o Mundo

Progressões Geométricas - Aspectos históricos e a geometria fractal

            Nesta postagem quero comemorar dois fatos que ocorreram na última semana. O primeiro fato ocorreu na segunda-feira (9/4/12). O blog atingiu o número de 30.000 visualizações. E segue com uma média de 200 visualizações diárias!

O segundo fato que gostaria de compartilhar aqui, diz respeito a uma prática realizada na terça-feira (10/4/12), com a turma 20M (2º ano do Ensino Médio), do Instituto Estadual de Educação Barão de Tramandaí. A prática “Progressões Geométricas – Aspectos históricos e a geometria fractal” foi realizada no laboratório de ciências exatas e naturais do Instituto Barão, e contou com a colaboração da professora responsável Rosane Bohne.

Os alunos construíram alguns fractais geométricos, identificaram as progressões geométricas envolvidas em cada um deles, determinando seus termos, razão e termo geral. Além disso, visualizaram vários exemplos de fractais presentes na natureza, e outros bastante curiosos. Também conheceram alguns aspectos históricos das progressões, e registros de sequências numéricas no Papiro de Rhind.

O vídeo abaixo foi elaborado com o material exposto para os alunos nesta aula, e também com os registros fotográficos da prática de construção da Pirâmide de Sierpinski.

 

O trânsito de Vênus e o MRU

             Esta foto de múltipla exposição foi tirada no dia 8 de junho de 2004. Nesse dia foi possível ver da Terra o pequenino planeta Vênus passar na frente do sol, fenômeno conhecido como “trânsito de Vênus”. Apesar de o movimento orbital de Vênus ser praticamente circular, essa passagem pode ser considerada um movimento retilíneo uniforme (MRU), pois ela ocorre em um trecho pequeno. Isso fica evidente pelas distâncias iguais entre as posições de Vênus, fotografadas em intervalos de tempos iguais (na fotografia, são os pequenos círculos escuros que aparecem em linha reta sobre o círculo claro maior, o Sol).

O movimento retilíneo uniforme é o movimento mais simples que pode existir; tem apenas duas variáveis, a posição e o tempo, mas mesmo assim seu estudo é importante, pois ele nos prepara para compreender movimentos mais complexos.

Movimento Retilíneo Uniforme (MRU)

Quando o ponto material em trajetória retilínea se move com velocidade constante em relação a determinado referencial, seu movimento é retilíneo uniforme (MRU). No MRU não há diferença entre velocidade média e instantânea, não existe aceleração e a única grandeza que varia com o tempo é a posição. Assim, o estudo do movimento retilíneo uniforme do ponto material se resume ao estudo da variação da posição desse ponto material com o tempo.

Como a velocidade não sofre variações, o móvel terá deslocamentos iguais em intervalos de tempos iguais

Na figura abaixo está representado um MRU de velocidade 5m/s.

Para aprender um pouco mais sobre o MRU, baixe em seu computador o aplicativo “The Moving Man”. Este aplicativo está disponível no site da Universidade do Colorado, e é um excelente simulador dos movimentos retilíneos. Nele pode-se estudar o MRU e MRUV e seus gráficos.

Mova o homenzinho de lá para cá com o mouse e trace o seu movimento, ou ajuste a sua posição inicial, sua velocidade, e aceleração e deixe a simulação mover o homem para você.

Notação Científica

          Números muito pequenos e muito grandes são freqüentes em estudos científicos e medições de grandezas, permeando várias áreas do conhecimento, com Física, Química, Astronomia, Biologia, Meio Ambiente, etc.

Observe alguns exemplos:

·         A massa do planeta Terra é de 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg.

·         A distância entre a Terra e a Lua é de 384 000 000 m

·         A massa de um próton é de 0,000000000000000000000000001673 kg

·         O nível máximo de ozônio (O₃) tolerado para que a quantidade do ar seja considerada boa é de 80 g/m³, isto é, em cada metro cúbico (m³) de ar podemos ter, no máximo, 0,00008 g de ozônio.

A leitura desses números é facilitada quando são escritos em notação científica. Basicamente, trata-se de escrevê-los como o produto de um número real a e uma potência de base dez e expoente inteiro.

Nessa notação, os números são escritos da seguinte forma:

a . 10ⁿ

·         a: um número compreendido entre 1 e 10

·         n: expoente inteiro.

Observe alguns exemplos:

1º Caso: O número é muito maior que um.

136 000  =  1,36 . 10⁵

Exemplos:

2 000 000  =  2 . 10⁶                  

33 000 000 000 = 3,3 . 10¹⁰                    

547 800 000 = 5,478 . 10⁸

2º caso: O número é muito menor que um.

0,000 000 412 = 4,12 . 10^-7                            

Exemplos:

0,0034 = 3,4 . 10^-3                    

0,0000008 = 8 . 10^-7                         

0,0000000000517 = 5,17 . 10^-11

Quando escrevemos um número em notação científica é possível conhecer, rapidamente, sua ordem de grandeza. Voltemos aos exemplos iniciais:

·         A massa do planeta Terra é de 5,98 . 10²⁴ kg

·         A distância entre a Terra e a Lua é de 3,84 . 10⁸ m

·         A massa de um próton é de 1,673 . 10^-27 kg

·         A massa de ozônio tolerada em 1m³ de ar é de 8 . 10^-5 g

Um pouco de história

A primeira tentativa conhecida de representar números demasiadamente extensos foi empreendida pelo matemático e filósofo grego Arquimedes, e descrita em sua obra O Contador de Areia, no século III a.C.. Ele desenvolveu um método de representação numérica para estimar quantos grãos de areia seriam necessários para preencher o universo. O número estimado por ele foi de 1 . 10⁶³ grãos.

Numeração Egípcia

 

Vale a pena conferir!

No Livro Matemática Mortífera, de Kjartan Poskitt, leia o capítulo intitulado “Como lidar com números grandões”. Você vai aprender bastante sobre notação científica, além de se divertir, é claro!

Sinopse do livro:

Agora se prepare para Matemática Mortífera! Ela é mortalmente divertida, letalmente interessante e, o melhor de tudo, Não tem exercícios asquerosos nem cálculos chatos! Descubra como a ciência dos números pode ajudar você a resgatar alguém que esteja correndo um perigo mortal, como não se matar com um tiro de canhão, e conheça alguns matemáticos famosos que foram realmente durões (e até mesmo alguns que foram assassinados).