sexta-feira, 10 de junho de 2011

Geometria Fractal - Arte e Matemática em Formas Naturais

 Fractais: Progressão e Série Geométrica.
Uma metodologia de ensino.[1]

Andrios Bemfica, Cassiana Alves[2]
Profº Orientador Marcelo A. dos Santos[3]
Resumo
O presente trabalho teve como foco o tema referente à Geometria Fractal que é uma nova maneira de ver e conceber o conhecimento geométrico. Buscamos apresentar o que são os fractais, como construir fractais em software matemático e construção através de dobraduras. Além disso, procuramos mostrar alguns dos fractais mais conhecidos como o Triângulo e Tapete de Sierpinsky e Conjunto de Cantor. Assim, na busca da aplicação da geometria fractal nos conceitos matemáticos, realizamos o cálculo da área e volume do Triângulo de Sierpinsky após n interações, cálculo da área do Tapete de Sierpinsky. Para realizarmos tal trabalho de calcular fizemos uso dos conceitos de progressões e séries geométricas oriundos do cálculo, geometria e da álgebra. Com isso, buscamos abordar o tema não somente como uma curiosidade geométrica, mas também discutir as possibilidades do uso deste como uma metodologia para a matemática do ensino médio.

Palavras-chave: Geometria Fractal, Séries Geométricas, Cálculos Algébricos, Progressões Geométricas.

1. INTRODUÇÃO
            O presente artigo vem mostrar um assunto ainda pouco utilizado como metodologia de ensino da matemática, os fractais, que em especial podem ser aplicados nos conteúdos de progressões geométricas do ensino médio. Mesmo sendo pouco utilizado é visto em diversas formas em nossas vidas cotidianas.
            Nos últimos anos, diferentes definições de fractais têm surgido. No entanto, a noção que serviu de fio condutor a todas as definições foi introduzida por Benoit Mandelbrot. De acordo com Sallum (2005):
Um fractal é uma figura que pode ser quebrada em pequenos pedaços, sendo cada um desses pedaços uma reprodução do todo. Não podemos ver um fractal porque é uma figura limite, mas as etapas de sua construção podem dar uma idéia da figura toda. Seu nome se deve ao fato de que a dimensão de um fractal não é um número inteiro. (Ibidem, p.1)
            Sendo assim, os fractais são formas geométricas abstratas de uma beleza incrível, com padrões complexos que se repetem infinitamente, mesmo limitados a uma área finita. Os fractais podem ser divididos em duas categorias: os fractais geométricos, que repetem continuamente um modelo padrão, e os aleatórios que são feitos através dos computadores.
            Além de se apresentarem como formas geométricas, os fractais apresentam determinadas características: auto-semelhança, dimensionalidade e complexidade infinita. A auto-semelhança é a simetria através das escalas, que consiste em cada pequena função do fractal, é tal qual uma réplica do original, porém numa escala menor. Esta propriedade pode ser vista em variados elementos da natureza (conforme anexo 1).
           
2. FRACTAIS COMO METODOLOGIA DE ENSINO
            A sociedade em que vivemos está passando por muitas transformações, a globalização e as tecnologias têm mudado o nosso cotidiano. Estas evoluções tem provocado algumas mudanças também na educação. Atualmente, muito se tem discutido sobre a abordagem dos conteúdos em sala de aula e o uso das novas tecnologias no ensino. Nesta esteira de discussões é que o ensino de matemática se insere, tendo em vista que a preocupação é crescente no que diz respeito a adaptação dos profissionais aos aparatos que a tecnologia disponibiliza. Estas novas abordagens vão de encontro ao perfil “moderno” do educando, que está cada vez interagindo mais com as novas tecnologias.
            As tecnologias no ensino são novas ferramentas que auxiliam tanto professores quanto alunos nas aulas de matemática, porém não são únicas. A prática escolar nos permite acreditar que a apresentação de novas formas de abordar conteúdos torna as aulas da disciplina de Matemática mais atraentes e produtivas. Nesse sentido, entendemos que as pessoas precisam sair das escolas, não sabendo somente calcular e escrever, tão pouco sabendo a capital de algum país do outro lado do mundo, precisam sair das salas de aula sabendo questionar, sabendo reconhecer, relacionar, criar.
Para Barbosa (2002) a própria matemática
[...] fornece ao matemático, ao professor, e é bom que ofereça ao educando, prazeres oriundos de várias formas de pensar e ver, ou de suas próprias ações. Muitas vezes eles emergem de superação de dificuldades; assim é, por exemplo, o estado prazeroso emergente da simples busca com sucesso das raízes na resolução de uma equação ou de uma situação-problema numérica ou geométrica cuja solução leva a encontrar apenas alguns números ou determinados pontos de um plano. (BARBOSA, p. 13, 2002)
            Seguindo estes princípios, a geometria fractal possui um vasto campo de aplicação dos conceitos matemáticos em suas diversas áreas, tais como álgebra, cálculo, geometria plana e espacial, e progressões. Cabe ao educador utilizar dos recursos dispostos pela escola, bem como dos conteúdos curriculares, para inserir este tema em suas aulas e cativar o aluno no aprendizado de conceitos.
Segundo Nunes (2010):
A exploração da geometria fractal, em contexto de sala de aula, proporciona o desenvolvimento das atitudes, dos valores e das competências dos alunos, na medida em que promove a curiosidade e o gosto de aprender, de pesquisar e de investigar; impulsiona a utilização da matemática na interpretação do real, reconhecendo formas e processos que envolvem conceitos matemáticos; ajuda na compreensão dos conceitos de perímetro, área e volume; promove a pesquisa de padrões e regularidades formulando em seguida generalizações em situações diversas, nomeadamente em contextos numéricos e geométricos. (Ibidem, 74)

Nesse sentido, podemos afirmar que esta área da geometria passa a ser uma importante e eficaz metodologia de ensino, visto que possibilita a abordagem e aplicação de vários conceitos, diversificando assim a prática do professor. Propor uma aula com situações novas, onde o educando possa descobrir e fazer relações entre o que visualiza e o que estuda, torna o acontecimento em sala de aula favorável a aprendizagem. Esta abordagem possibilitará ao educando a visualização do conteúdo trabalhado, não ficando apenas na formalidade que é própria da disciplina de matemática. Cremos que
[...] para os fractais, em especial para a geometria fractal, faz-se necessário ao educador conseguir captar o educando com o transparecer de sua própria vibração, e talvez evidenciando o êxtase na complementação na beleza de seus visuais, conduzindo-o ao prazer pelas informações e conhecimentos culturais da vasta variedade de fractais. (BARBOSA, p. 14, 2002)

Além do campo extenso de aplicações dos fractais é necessário que o professor perceba a potencialidade que existe nesta área da geometria, podendo assim trabalhar conceitos de simetria, relacionando arte com matemática.

3. TRIÂNGULO DE SIERPINSKI
            O Triângulo de Sierpinski foi descoberto pelo matemático Waclav Sierpinski (1882-1969). É obtido através de um processo iterativo de divisão de um triângulo equilátero em quatro triângulos semelhantes, visto que um destes triângulos está invertido, em relação ao original e é retirado do triângulo original sobrando apenas os outros três. Assim, repete-se no passo seguinte o mesmo procedimento em cada um dos três novos triângulos com a orientação original, e assim sucessivamente.
            O fractal obtido é estritamente auto-semelhante, ou seja, as partes da figura são cópias reduzidas de toda a figura. Pode-se generalizar o triângulo de Sierpinski para uma terceira dimensão, obtendo assim a Pirâmide de Sierpinski.
Figura1. Triângulo de Sierpinski e suas interações. Fonte: Internet, 2010.
3.1. O TRIÂNGULO DE SIERPINSKI E AS SÉRIES GEOMÉTRICAS
            Os fractais podem ser explorados no desenvolvimento de diversos conteúdos; como na álgebra, geometria, cálculo, modelagem matemática e números complexos, com o propósito de despertar o interesse dos educandos, pelas formas, cores e luminosidade que os mesmos apresentam ao serem criados tanto no computador como manualmente.
            Fazendo uso dos conceitos oriundos do cálculo mais especificamente, as séries geométricas, buscamos construir fórmulas para encontrar as áreas do Triângulo e do Tapete de Sierpinsky para n interações.
            Partindo primeiramente da análise do triângulo e sua primeira interação, vimos que a cada interação cada triângulo que compunha o Triângulo de Sierpinsky dava origem a quatro novos triângulos, sendo que destes quatro o do centro é removido.
Figura 2. Triângulo de Sierpinski após várias interações. Fonte: Internet, 2010.
3.1.1. ÁREA DO TRIANGULO DE SIERPINSKI
O cálculo da área vazada do Triângulo de Sierpinski se dará pelo somatório das áreas dos triângulos para n interações, obtidas através de uma série geométrica convergente.

Tabela 1. Cálculo da área do triangulo de Sierpinski após as interações.

            Logo, para descobrirmos a área que resta do triângulo original realizamos o seguinte cálculo: faremos a área do triângulo original pela fórmula da área do triângulo equilátero menos o somatório das áreas vazadas obtidas através da série geométrica.

3.1.1.1. SÉRIE GEOMÉTRICA


Como verificamos ao montar a série geométrica que ela convergia, pois sua razão era menor que um, ao fazermos o cálculo da área restante no Triângulo de Sierpinsky provamos essa convergência para zero. Portanto, quando tivermos n interações no Triângulo de Sierpinsky a área restante converge para zero.
            Portanto a soma das áreas das n interações do Triângulo de Sierpinsky resultam na mesma área do triângulo inicial.  Isso quer dizer que, se tivéssemos um triângulo e fossemos retirando os novos triângulos gerados pelas interações deste fractal a área resultante seria zero.

3.1.2. VOLUME DA PIRÂMIDE DE SIERPINSKI
O cálculo do volume restante do Pirâmide de Sierpinski se dará pelo somatório dos volumes dos octaedros para n interações, obtidas através de uma série geométrica convergente.


Tabela 2. Cálculo do volume do triângulo de Sierpinski após as interações.

3.1.2.1. SÉRIE GEOMÉTRICA

Como vimos anteriormente calculamos a soma de uma série geométrica a partir de:

Como verificamos ao montar a série geométrica que ela convergia, pois sua razão era menor que um, ao fazermos o cálculo do volume restante da Pirâmide de Sierpinsky provamos essa convergência para zero. Portanto, quando tivermos n interações na Pirâmide de Sierpinsky o volume restante converge para zero.
            Portanto a soma dos volumes das n interações da Pirâmide de Sierpinsky resultam no mesmo volume da pirâmide inicial.  Isso quer dizer que, se tivéssemos uma pirâmide e fossemos retirando as novas pirâmides geradas pelas interações deste fractal o volume resultante seria zero.

4. TAPETE DE SIERPINSKI
            Neste partimos de um quadrado, dividindo-o em nove pequenos quadrados congruentes, e eliminando o central. Em seguida, vamos aplicando esse mesmo procedimento em cada um dos oito quadrados restantes, e assim sucessivamente, o resultado é conhecido como Tapete de Sierpinski.
Figura 3. Tapete de Sierpinski após a segunda interação. Fonte: Internet, 2010.

            Agora fazendo a verificação da área do Tapete de Sierpinski, começamos analisando como se formava esse fractal, o Tapete de Sierpinski é formado por um quadrado que posteriormente é dividido em nove quadrados menores onde retiramos o quadrado do centro.
Figura 4. Tapete de Sierpinski após as interações. Fonte: Internet, 2010.

Assim, com o intuito de demonstrarmos a área que restava após n interações para o Tapete de Sierpinski, realizamos o cálculo da área de um quadrado menos o somatório das áreas dos quadrados retirados para n interações obtidos através de uma série geométrica convergente, pois tal série para o Tapete de Sierpinski tem razão menor que um logo é convergente.
            Portanto, ao fazermos o cálculo da área que resta verificamos que tal área convergia para zero quando tivermos n interações, fato também verificado para o Triângulo de Sierpinski.

4.1. ÁREA DO TAPETE DE SIERPINSKI
O cálculo da área vazada do Tapete de Sierpinski se dará pelo somatório das áreas dos quadrados para n interações, obtidas através de uma série geométrica convergente.

Tabela 3. Cálculo da área do Tapete de Sierpinski após as interações.

4.1.1. SÉRIE GEOMÉTRICA

Portanto a soma das áreas das n interações do quadrado de Sierpinski resultam na mesma área do quadrado inicial. Isso quer dizer que, se pegarmos um quadrado e retirarmos os novos quadrados gerados pelas interações deste fractal, a área resultante seria zero.

5. INTERVALOS DO CONJUNTO DE CANTOR

A construção do Conjunto se faz por indução matemática.

5.1. INDUÇÃO MATEMÁTICA
Indução Matemática é um método de prova matemática usado para demonstrar a verdade de um número infinito de proposições. Efeito dominó.
Tabela 4. Cálculo dos Intervalos do Conjunto de Cantor.

5.1.1. SÉRIE GEOMÉTRICA
Podemos concluir que a soma dos intervalos gerados pelas n interações do Conjunto de Cantor, resultam no mesmo tamanho do intervalo inicial. Isso quer dizer que, se tivéssemos um segmento de reta e fossemos retirando novos intervalos gerados pelas interações deste fractal, o intervalo resultante seria zero.

6. USO DO SOFTWARE SHAPARI NA CONSTRUÇÃO DE FRACTAIS

Shafari é uma ferramenta com uma linguagem de programação de fácil compreensão e que possibilita que o aluno desenvolva o raciocínio. É muito bom para o ensino de geometria e pode ser usado em todos os níveis escolares. 
Shapari é uma exploração do computador das formas e dos testes padrões. Fornece as ferramentas simples que podem ser usadas pelas crianças a partir dos 4 anos até os alunos de nível universitário para produzir uma variedade rica de testes padrões abstratos e fractal. Em vez de oferecer uma disposição larga das ferramentas que permitem que você crie o desenho, oferece um jogo limitado das ferramentas simples que podem ser usadas produzir uma escala simples diversa dos testes padrões. Pretende-se promover pensar abstrato e a exploração de conceitos matemáticos.
Shapari oferece 5 níveis da operação. Os níveis são distinguidos primeiramente pela complexidade das manipulações da forma disponíveis. O Shapari armazena seleções niveladas individuais para todo o usuário e também fornece o armazenamento para os desenhos criados pelo usuário.
Shapari é projetado para mentes curiosas de todas as idades. Os controles simples, diretamente acessíveis e permitem que os usuários os mais novos, usando o mouse, sintam um a possibilidade da coloração da alteração das formas. Os usuários avançados podem projetar seus próprios manipuladores da forma usando um editor gráfico e/ou umas descrições Matemáticas. Estes manipuladores podem então ser aplicados iterativos para criar testes padrões fractal. Shapari oferece algo para apenas aproximadamente todos. Uma exploração clara de muitos conceitos matemáticos incluindo a forma, o tamanho, a contagem, a multiplicação, a simetria, as transformações, a periodicidade, a convergência, o crescimento exponencial, a recursividade e a geometria fractal.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo a Geometria Fractal – para a sala de aula. Belo Horizonte: Editora Autêntica, 2002.

Disponível em:
Acesso em: 6 de junho de 2010

SALLUM, Élvia Mureb. Fractais no ensino médio. Revista do Professor de Matemática. Nº 57, 2ºquadrimestre de 2005


[1] Trabalho apresentado a disciplina de Álgebra III (2010/1).
[2] Graduados do Curso de Licenciatura em Matemática da Faculdade Cenecista de Osório.
[3] Professor e Coordenador do Curso de Licenciatura em Matemática da Faculdade Cenecista de Osório.


 

4 comentários:

  1. Professor, acho que o volume do tetraedro inicial está equivocado.

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  2. vc sabe que nessa dedução existe um ebuste racional que faz o obvio dar certo (o triangulo tende ao branco) só para disfarçar que a matemática binária falha para demostrar o obvio né?

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  3. o ebuste da razão aqui foi se utilizar de contagem para deduzir o que se queria. com a razão se deduz qualquer coisa, mas foi a intuição que lhe guio para o caminho certo escoler uma contagem maior(usando termo de prache embusteiro retirada do novo)

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  4. Excelente postagem!

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