Notação Científica

          Números muito pequenos e muito grandes são freqüentes em estudos científicos e medições de grandezas, permeando várias áreas do conhecimento, com Física, Química, Astronomia, Biologia, Meio Ambiente, etc.

Observe alguns exemplos:

·         A massa do planeta Terra é de 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg.

·         A distância entre a Terra e a Lua é de 384 000 000 m

·         A massa de um próton é de 0,000000000000000000000000001673 kg

·         O nível máximo de ozônio (O₃) tolerado para que a quantidade do ar seja considerada boa é de 80 g/m³, isto é, em cada metro cúbico (m³) de ar podemos ter, no máximo, 0,00008 g de ozônio.

A leitura desses números é facilitada quando são escritos em notação científica. Basicamente, trata-se de escrevê-los como o produto de um número real a e uma potência de base dez e expoente inteiro.

Nessa notação, os números são escritos da seguinte forma:

a . 10ⁿ

·         a: um número compreendido entre 1 e 10

·         n: expoente inteiro.

Observe alguns exemplos:

1º Caso: O número é muito maior que um.

136 000  =  1,36 . 10⁵

Exemplos:

2 000 000  =  2 . 10⁶                  

33 000 000 000 = 3,3 . 10¹⁰                    

547 800 000 = 5,478 . 10⁸

2º caso: O número é muito menor que um.

0,000 000 412 = 4,12 . 10^-7                            

Exemplos:

0,0034 = 3,4 . 10^-3                    

0,0000008 = 8 . 10^-7                         

0,0000000000517 = 5,17 . 10^-11

Quando escrevemos um número em notação científica é possível conhecer, rapidamente, sua ordem de grandeza. Voltemos aos exemplos iniciais:

·         A massa do planeta Terra é de 5,98 . 10²⁴ kg

·         A distância entre a Terra e a Lua é de 3,84 . 10⁸ m

·         A massa de um próton é de 1,673 . 10^-27 kg

·         A massa de ozônio tolerada em 1m³ de ar é de 8 . 10^-5 g

Um pouco de história

A primeira tentativa conhecida de representar números demasiadamente extensos foi empreendida pelo matemático e filósofo grego Arquimedes, e descrita em sua obra O Contador de Areia, no século III a.C.. Ele desenvolveu um método de representação numérica para estimar quantos grãos de areia seriam necessários para preencher o universo. O número estimado por ele foi de 1 . 10⁶³ grãos.

Numeração Egípcia

 

Vale a pena conferir!

No Livro Matemática Mortífera, de Kjartan Poskitt, leia o capítulo intitulado “Como lidar com números grandões”. Você vai aprender bastante sobre notação científica, além de se divertir, é claro!

Sinopse do livro:

Agora se prepare para Matemática Mortífera! Ela é mortalmente divertida, letalmente interessante e, o melhor de tudo, Não tem exercícios asquerosos nem cálculos chatos! Descubra como a ciência dos números pode ajudar você a resgatar alguém que esteja correndo um perigo mortal, como não se matar com um tiro de canhão, e conheça alguns matemáticos famosos que foram realmente durões (e até mesmo alguns que foram assassinados).

Conectando ideias com a matemática II – Aplicações da Função Afim

Valor pago pela conta de luz em função do consumo

Analise a relação existente entre o valor pago por um usuário em reais e consumo de energia elétrica em kWh, num determinado mês. Construa a tabela e o gráfico analisando-os (não esqueça a tarifa fixa de contribuição para iluminação pública).

O preço a pagar em função da quantidade de açúcar comprado

Dona Ana vai ao supermercado para comprar açúcar refinado, o preço do kg é R$3,29.

a)      Existe uma relação entre o preço a pagar e a quantidade de quilos de açúcar comprada?

b)      O preço do quilo do açúcar “depende” de quanto vou pagar?

c)      O preço que vou pagar “depende” da quantidade de açúcar que eu comprarei?

d)      Qual a expressão matemática que me permite relacionar o preço do açúcar com a quantidade comprada?

e)      Qual a variável dependente?

f)       Qual a variável independente?

g)      É possível fazer um gráfico par demonstrar essa relação?

A área a ser pintada em função do dia

Um pintor foi contratado para pintar uma parede cuja área é 240m². A tabela mostra o quanto ainda falta para ser pintado no final de cada dia.

a)      A área da parede a ser pintada tem relação com o número de dias?

b)      Quando os dias passam, o que acontece com a quantidade de área a ser pintada?

c)      Quantos dias o pintor levou para terminar o serviço?

d)      Faça um esboço do gráfico desta função.

O valor da corrida de táxi em função do quilômetro rodado

Em uma certa cidade, o preço de um corrida de táxi é calculado do seguinte modo:

·         A “bandeirada” é de R$2,50

·         A cada km percorrido o preço é de R$0,80

a)      Escreve uma fórmula matemática que represente a situação:

b)      Para uma corrida de 30km, quanto se gastará?

c)      Faça um esboço do gráfico da função.

O valor pago pelo aluno em função do número de meses

Uma escola de natação cobra de seus alunos uma matrícula de R$80,00, mais uma mensalidade de R$50,00. Determine:

a)      A função que representa o gasto de um aluno em relação aos meses de aula.

b)      Quanto gastou um aluno nos seis primeiros meses de aula?

c)      O gráfico dessa função, admitindo que o curso seja de 12 meses.

O valor pago pelo estacionamento em função da permanência

Num estacionamento, o preço a pagar é calculado da seguinte maneira:

·         A primeira hora custa R$2,00

·         As horas seguintes custam R$1,00 cada

O preço a pagar pelo estacionamento é dado por qual fórmula matemática?

Custo total em função da produção

Na fabricação de um determinado artigo verificou-se que o custo total foi obtido através de uma taxa fixa de R$ 4.000,00, adicionada ao custo de produção, que é de R$50,00 por unidade. Determinar:

a)      A função que representa o custo total em relação à quantidade produzida.

b)      O gráfico da função.

c)      O custo de fabricação de 15 unidades.

O valor gasto em função da produção

(F.Santo André – SP) O gráfico mostra como o dinheiro gasto (y), por uma empresa, na produção de óleo varia com a quantidade de óleo produzida (x). Assim, podemos afirmar que:

a)      Quando a empresa não produz nada, não gasta nada.

b)      Para produzir 2 litros de óleo a empresa gasta R$76,00

c)      Para produzir 1 litro de óleo a empresa gasta R$ 54,00

d)      Se a empresa gasta R$170,00, então ela produz 5 litros de óleo.

e)      Para fabricar o terceiro litro de óleo, a empresa gasta menos do que para fabricar o quinto litro.

Gasolina no tanque em função dos quilômetros rodados.

Abasteci meu carro. Coloquei 20 litros de gasolina e zerei o marcador da quilometragem no momento que sai do posto de gasolina. Sei que meu carro anda 10km por litro de gasolina. Vamos analisar quantos quilômetros andarei com essa quantia abastecida:

Vamos construir um gráfico para melhor analisar essa situação:

 

Questões propostas: 

a)      Quantos quilômetros percorrerá o automóvel com 20 litros de gasolina?

b)      Com 5 litros de gasolina, quantos quilômetros percorrerá?

c)      Quando restar 5 litros de gasolina no tanque, quantos quilômetros terá percorrido?

d)      Qual a expressão matemática que representa essa função?

Um pouco de história - Gauss e o seu raciocínio brilhante

            Uma das histórias mais fascinantes envolvendo progressões é a do matemático alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855), considerado o maior matemático do século XIX e um dos maiores de todos os tempos, juntamente com Arquimedes e Isaac Newton. Filho de família pobre, seu pai tentou evitar que recebesse instrução adequada. Gauss, porém, contou com o apoio da mãe, para que pudesse estudar.

A precocidade de Gauss, tido como uma criança prodígio, pode ser exemplificada por um fato interessante ocorrido em sua infância. Aos 10 anos, Gauss freqüentava uma escola local, na qual o professor era tido como muito exigente. Certo dia, com a intenção de manter a turma em silêncio, pediu aos alunos que somassem os números naturais de 1 a 100 (1+2+3+...+100) e, assim que terminassem, colocassem a solução sobre sua mesa. Quase que imediatamente, Gauss colocou sobre a mesa do professor a resposta encontrada. Ele olhou para o menino com pouco-caso, enquanto os demais alunos trabalhavam arduamente. Quando conferiu os resultados, o professor verificou que a única resposta correta era a de Gauss, 5.050, mas sem fazê-la acompanhar de nenhum cálculo.

Gauss havia feito o cálculo mentalmente, observando que a soma do primeiro e do último termo (1+100), do segundo e do penúltimo termo (2+99), do terceiro e do antepenúltimo (3+98), e assim por diante era sempre 101, ou seja:

A soma dos números naturais de 1 a 100 é dada por 50 . 101 = 5.050, cálculo que resultou na fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA.   

Utilizando o mesmo procedimento realizado por Gauss, calcule a soma dos 100 primeiros números pares positivos.


Nas palavras de Gauss:

"Verdadeiramente o que mais prazer me proporciona, não é o saber mas o estudar, não a posse mas a conquista, não o estar aqui mas o chegar além."

Carl Friedrich Gauss

A fantástica sequência de Fibonacci

A sequência de Fibonacci é uma sequência infinita em que cada termo, a partir do terceiro, é igual à soma dos dois termos antecessores. Os primeiros termos da sequência de Fibonacci são:

1,1,2,3,5,8,13, ...

Com base nessas informações, classifique como verdadeira ou falsa cada uma das afirmações. Justifique seu raciocínio.

a)A lei de formação que permite calcular os termos dessa sequência é a_n+1 = a_n-1 + a_n, com  e , e a₁ = a₂ = 1.

b)      O número 65 faz parte dessa sequência

c)      a₈ = 21

d)      Determine os próximos cinco termos da sequência (1,4,5,...), utilizando a relação entre os termos existentes na sequência de Fibonacci.

 

Artigo publicado na Revista Superinteressante

O cientista é um privilegiado leitor da natureza

Veja como a sequência de números, descoberta na Idade Média, está também nas plantas, nos animais, na arte grega e nos versos latinos.

Podem até parecer partes de um novo quebra-cabeças essas perguntas:

- O que há de comum entre o número de escamas de certas espécies de peixes e o número de segmentos da superfície de uma pinha?

- Qual a relação entre a disposição dos ramos e das folhas de algumas árvores e a métrica definida em alguns poemas de Virgílio e de outros poetas romanos?

  

O traço comum que responde a essas e a uma centena de outras perguntas, sugeridas na revista Fibonacci Quarterly, editada pela Associação Fibonacci da Califórnia, parece estar escrito na natureza e nas artes e foi formalmente lido por um exuberante matemático, Leonardo de Pisa, ou Leonardo Pisano, ou ainda Leonardo Fibonacci, por volta do final do século XII e início do século XIII de nossa era. Tempos difíceis, aqueles. Estava-se em plena Idade Média, quando descobertas e conhecimento circulavam muito lentamente, pois as cidades se isolavam umas das outras e os livros eram raros e caros - afinal, sequer fora inventada a imprensa.

Seu livro, completado em 1202, recebeu um título que não lhe faz justiça: Líber Abaci ou Livro do Ábaco, na sua forma mais simples, é uma moldura retangular, com arames onde correm pequenas bolas que servem para cálculos elementares de Aritmética. Ainda hoje é muito usado nos países orientais. Muito do que o livro contém não chega a interessar nos nossos dias. Mas alguns problemas ali expostos foram a alavanca de numerosas considerações matemáticas que se sucederam nos séculos seguintes.

O que mais inspirou as gerações posteriores de matemáticos foi esse intrigante problema:

“Quantos pares (um macho e uma fêmea) de coelhos serão produzidos em um ano, começando com um único par, se em cada mês cada par gera um novo par que se torna fértil a partir do segundo mês?”

Este célebre problema dá origem à seqüência que leva o nome de Fibonacci:

Ou simplesmente 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

Observe que cada termo, após os dois primeiros, é a soma dos dois imediatamente precedentes. Com um pouco de esforço qualquer pessoa medianamente treinada poderá criar outras seqüências desse tipo. Mas o que certamente nenhum leigo conseguirá - e é isso que torna a seqüência de Fibonacci deveras interessante - é a freqüência e a variedade de suas aparições na natureza e nas artes.

Veja esses exemplos: o número de pequenas flores que formam o miolo do girassol é um dos números da seqüência de Fibonacci; o número de escamas de certos peixes e o número de segmentos da superfície de uma pinha são números da seqüência de Fibonacci; pode-se verificar que Virgílio e outros poetas romanos escreveram poemas nos quais a métrica está definida conforme as regras da seqüência de Fibonacci. [...] Outras investigações no campo da Botânica têm mostrado que as frações que representam a disposição espiral das folhas nos ramos são, com freqüência, membros da seqüência de Fibonacci.

Artigo disponível na íntegra em:

http://super.abril.com.br/ciencia/cientista-privilegiado-leitor-natureza-438361.shtml

 

 

Aplicativo "Fibonacci: problema dos coelhos"

Esta simulação trata do problema dos coelhosque é a questãoque ajudou-o a gerar a sua famosa sequência.

Clique aqui para baixar o aplicativo sobre o problema dos coelhos

Assista também ao vídeo sobre a sequência de Fibonacci, suas aplicações na natureza e o número áureo:

Boa volta às aulas!