Blog do Profº Andrios Bemfica

Um pouco de história - Gauss e o seu raciocínio brilhante

2012-03-01T18:53:00.000-08:00

Uma das histórias mais fascinantes envolvendo progressões é a do matemático alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855), considerado o maior matemático do século XIX e um dos maiores de todos os tempos, juntamente com Arquimedes e Isaac Newton. Filho de família pobre, seu pai tentou evitar que recebesse instrução adequada. Gauss, porém, contou com o apoio da mãe, para que pudesse estudar.

A precocidade de Gauss, tido como uma criança prodígio, pode ser exemplificada por um fato interessante ocorrido em sua infância. Aos 10 anos, Gauss freqüentava uma escola local, na qual o professor era tido como muito exigente. Certo dia, com a intenção de manter a turma em silêncio, pediu aos alunos que somassem os números naturais de 1 a 100 (1+2+3+...+100) e, assim que terminassem, colocassem a solução sobre sua mesa. Quase que imediatamente, Gauss colocou sobre a mesa do professor a resposta encontrada. Ele olhou para o menino com pouco-caso, enquanto os demais alunos trabalhavam arduamente. Quando conferiu os resultados, o professor verificou que a única resposta correta era a de Gauss, 5.050, mas sem fazê-la acompanhar de nenhum cálculo.

Gauss havia feito o cálculo mentalmente, observando que a soma do primeiro e do último termo (1+100), do segundo e do penúltimo termo (2+99), do terceiro e do antepenúltimo (3+98), e assim por diante era sempre 101, ou seja:

A soma dos números naturais de 1 a 100 é dada por 50 . 101 = 5.050, cálculo que resultou na fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA.

Utilizando o mesmo procedimento realizado por Gauss, calcule a soma dos 100 primeiros números pares positivos.

A fantástica sequência de Fibonacci

2012-02-26T14:33:00.000-08:00

A sequência de Fibonacci é uma sequência infinita em que cada termo, a partir do terceiro, é igual à soma dos dois termos antecessores. Os primeiros termos da sequência de Fibonacci são:

1,1,2,3,5,8,13, ...

Com base nessas informações, classifique como verdadeira ou falsa cada uma das afirmações. Justifique seu raciocínio.

a)A lei de formação que permite calcular os termos dessa sequência é a_n+1 = a_n-1+ a_n, com e , e a₁ = a₂ = 1.

b) O número 65 faz parte dessa sequência

c) a₈= 21

d) Determine os próximos cinco termos da sequência (1,4,5,...), utilizando a relação entre os termos existentes na sequência de Fibonacci.

Artigo publicado na Revista Superinteressante

O cientista é um privilegiado leitor da natureza

Veja como a sequência de números, descoberta na Idade Média, está também nas plantas, nos animais, na arte grega e nos versos latinos.

Podem até parecer partes de um novo quebra-cabeças essas perguntas:

- O que há de comum entre o número de escamas de certas espécies de peixes e o número de segmentos da superfície de uma pinha?

- Qual a relação entre a disposição dos ramos e das folhas de algumas árvores e a métrica definida em alguns poemas de Virgílio e de outros poetas romanos?

O traço comum que responde a essas e a uma centena de outras perguntas, sugeridas na revista Fibonacci Quarterly, editada pela Associação Fibonacci da Califórnia, parece estar escrito na natureza e nas artes e foi formalmente lido por um exuberante matemático, Leonardo de Pisa, ou Leonardo Pisano, ou ainda Leonardo Fibonacci, por volta do final do século XII e início do século XIII de nossa era. Tempos difíceis, aqueles. Estava-se em plena Idade Média, quando descobertas e conhecimento circulavam muito lentamente, pois as cidades se isolavam umas das outras e os livros eram raros e caros - afinal, sequer fora inventada a imprensa.

Seu livro, completado em 1202, recebeu um título que não lhe faz justiça: Líber Abaci ou Livro do Ábaco, na sua forma mais simples, é uma moldura retangular, com arames onde correm pequenas bolas que servem para cálculos elementares de Aritmética. Ainda hoje é muito usado nos países orientais. Muito do que o livro contém não chega a interessar nos nossos dias. Mas alguns problemas ali expostos foram a alavanca de numerosas considerações matemáticas que se sucederam nos séculos seguintes.

O que mais inspirou as gerações posteriores de matemáticos foi esse intrigante problema:

“Quantos pares (um macho e uma fêmea) de coelhos serão produzidos em um ano, começando com um único par, se em cada mês cada par gera um novo par que se torna fértil a partir do segundo mês?”

Este célebre problema dá origem à seqüência que leva o nome de Fibonacci:

Ou simplesmente 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

Observe que cada termo, após os dois primeiros, é a soma dos dois imediatamente precedentes. Com um pouco de esforço qualquer pessoa medianamente treinada poderá criar outras seqüências desse tipo. Mas o que certamente nenhum leigo conseguirá - e é isso que torna a seqüência de Fibonacci deveras interessante - é a freqüência e a variedade de suas aparições na natureza e nas artes.

Veja esses exemplos: o número de pequenas flores que formam o miolo do girassol é um dos números da seqüência de Fibonacci; o número de escamas de certos peixes e o número de segmentos da superfície de uma pinha são números da seqüência de Fibonacci; pode-se verificar que Virgílio e outros poetas romanos escreveram poemas nos quais a métrica está definida conforme as regras da seqüência de Fibonacci. [...] Outras investigações no campo da Botânica têm mostrado que as frações que representam a disposição espiral das folhas nos ramos são, com freqüência, membros da seqüência de Fibonacci.

Artigo disponível na íntegra em:

http://super.abril.com.br/ciencia/cientista-privilegiado-leitor-natureza-438361.shtml

Clique aqui para baixar o aplicativo sobre o problema dos coelhos

Assista também ao vídeo sobre a sequência de Fibonacci, suas aplicações na natureza e o número áureo:

Boa volta às aulas!

2012-02-15T18:55:00.000-08:00

II Ciclone do Saber - Mostra científica, cultural e artística

2011-11-22T18:16:00.000-08:00

Nos dias 16 e 17 de novembro do corrente ano, ocorreu nas dependências do Instituto Estadual de Educação Barão de Tramandaí, o II Ciclone do Saber - Mostra científica, cultural e artística.

O evento já havia sido divulgado aqui no blog.

Na tarde do dia 16, os alunos do 1º ao 7º ano do ensino fundamental apresentaram seus trabalhos no Ciclone do Saber Mirim.

No mesmo dia, os alunos do ensino médio do noturno apresentaram seus trabalhos experimentais e/ou pesquisa.

Já no dia 17 foi à vez dos alunos do diurno apresentarem seus trabalhos. Os alunos do ensino médio da manhã, juntamente com os alunos do 8º e 9º ano do ensino fundamental e os alunos do Curso Normal da tarde, deram um show em suas apresentações com muita organização e criatividade.

Nesta segunda edição do Ciclone do Saber foram 150 trabalhos inscritos nas mais diversas áreas do conhecimento, superando o número de trabalhos inscritos na primeira edição do evento que foi de 132.

Os assuntos dos trabalhos apresentados foram escolhidos livremente pelos alunos, mostrando a afinidade de cada grupo com as áreas do conhecimento abordadas no currículo da escola. Alguns trabalhos tinham ênfase na exposição e outros na experimentação, mas de modo geral, os trabalhos obtiveram uma boa avaliação tanto da comissão organizadora quanto da avaliadora.

Durante os dois dias em que ocorreu o evento, a escola recebeu a visita do Centro de Ensino Sinodal de Tramandaí.

O vídeo abaixo contém os registros fotográficos e filmográficos de alguns trabalhos apresentados nos quatro turnos em que ocorreu o II Ciclone do Saber.

Comissão Organizadora do II Ciclone do Saber: Adriana Nunes (Diretora), Priscila Rocha, Joice Costa, Ariana Leite, Andrios Bemfica dos Santos, Jéssica Abraham, Giceli Schallenberger e Márcia Costa (Professores).

Queda dos corpos – Aspectos históricos e alguns aplicativos

2011-11-09T11:49:00.000-08:00

Entre diversos movimentos que ocorrem na natureza, houve sempre interesse no estudo do movimento de queda dos corpos próximos à superfície da Terra. Quando abandonamos um objeto (uma pedra, por exemplo) de uma certa altura, podemos verificar que, ao cair, sua velocidade cresce, isto é, o seu movimento é acelerado. Se lançarmos o objeto para cima, sua velocidade diminui gradualmente até se anular no ponto mais alto, isto é, o movimento de subida é retardado. As características destes movimentos de subida e descida foram objeto de estudo desde tempos bastante remotos.

Aristóteles

(384-322 a.C.)

Aristóteles e a queda dos corpos

O grande filósofo Aristóteles, aproximadamente 300 anos antes de Cristo, acreditava que, abandonando corpos leves e pesados de uma mesma altura, seus tempos de queda não seriam iguais: os corpos mais pesados alcançariam o solo antes dos mais leves. A crença nesta afirmação perdurou durante quase dois mil anos. Isso ocorreu em virtude de nossa intuição nos fazer pensar que os corpos mais pesados realmente caem mais rapidamente, além da grande influência do pensamento aristotélico em várias áreas do conhecimento. Um estudo diferenciado do movimento de queda dos corpos utilizando técnicas experimentais só viria a ser realizado pelo físico Galileu Galilei, no século XVII.

Galileu e a queda dos corpos

Galileu Galilei

(1564-1642)

Galileu é considerado o introdutor do método experimental na Física, acreditando que a realização de experimentos, ao controlar as partes importantes do fenômeno, ajudaria na sua explicação. Já os aristotélicos consideravam que os experimentos não serviam para estudar a realidade. Esse método, inovador, serviu para abordar a pesquisa de um modo diferente, o que levou a conclusões bem distintas das de Aristóteles.

Estudando a queda dos corpos através de sofisticadas técnicas experimentais e de medição, Galileu chegou à conclusão de que:

“Abandonados de um mesma altura, um corpo leve e um corpo pesado caem simultaneamente, atingindo o chão no mesmo instante.”

contrariamente ao que pensava Aristóteles.

Galileu descreve em seus livros que ele teria subido ao alto da Torre de Pisa e, para demonstrar experimentalmente sua afirmativa, abandonou várias esferas de pesos diferentes, que atingiram o chão quase ao mesmo tempo.

A famosa torre inclinada de Pisa, cuja altura é de, aproximadamente, 45m. Conta-se que, do alto dessa torre, Galileu realizou sua célebre experiência sobre a queda dos corpos.

Aplicativos sobre Queda dos Corpos

Abaixo serão listados alguns aplicativos disponíveis na web sobre queda dos corpos, onde é possível visualizar a relação entre grandezas envolvidas neste movimento, como aceleração da gravidade, velocidade, posição e tempo de queda. Também é possível diferenciar a queda dos corpos no vácuo ou no ar, quando a resistência do ar é desprezível (queda livre), e no ar quando há existência de resistência com o ar.

Galileu na Torre de Pisa

Este aplicativo demonstra a teoria proposta por Galileu Galilei na queda dos corpos. É possível visualizar que corpos de diferentes massas caem ao mesmo tempo de uma mesma altura se a queda for no vácuo ou quando a resistência do ar é desprezível.